BZOJ 3992 序列统计

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Solution

从一个集合中取元素，每个元素可以取无限次，问乘积模mm为xx的序列有多少个 看一眼排列似乎是指数生成函数，然而那样就似乎会相当麻烦 注意到每种元素可以取无限次，于是序列的每个位置的元素选取都是独立不受影响的，就可以看成从nn个集合各取一个元素的方案数了，然后就可以套普通生成函数了 下一步需要把答案构造成函数某个项的系数，也就是说项的次数与xx有关，系数为方案数。但是xx的转移是乘积取模的形式，这个不好。为了去掉乘，就把方程取个log\log，哦不对是取个 。然后就好了。 在IDFT之后，在计算结果的时候把ii模一个ϕ(m)=m−1\phi(m)=m-1。快速幂做完就行了。

Tips

各路大神似乎都把 当成了00，但是根据定义 ，强迫症患者表示不爽。

Code

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//Code by Lucida
#include<bits/stdc++.h>
#define get(x) scanf("%d",&x)
#define put(x) printf("%d",x)
typedef long long ll;
template <class T> inline bool chkmx(T &a,const T &b){return a<b?a=b,1:0;}
template <class T> inline bool chkmn(T &a,const T &b){return a>b?a=b,1:0;}
const int P=1004535809,LP=21,G=3,MAXM=8000+11,LEN=MAXM<<2;//LEN=MAXM<<1... 2M需要两倍空间
using std::swap;
using std::reverse;

template <class T> T Pow(T base,int index)
{
	T res;res.I();//res默认设置单位I，在其他地方会出问题
	for(;index;base*=base,index>>=1)
		if(index&1) res*=base;
	return res;
}
namespace _NTT_
{
	const int modu=P;
	struct ModInt
	{
		ll num;
		ModInt(ll x=0):num(x%modu){}
		void I(){num=1;}
		ModInt operator +(ModInt b){return ModInt(num+b.num);}
		ModInt operator -(ModInt b){return ModInt((num-b.num)%modu+modu);}
		ModInt operator *(ModInt b){return ModInt(num*b.num);}
		ModInt operator *(ll b){return ModInt(num*b);}
		ModInt &operator =(ll x){return num=x%modu,*this;}
		template <class T> ModInt &operator +=(T b){return *this=*this+b;}
		template <class T> ModInt &operator -=(T b){return *this=*this-b;}
		template <class T> ModInt &operator *=(T b){return *this=*this*b;}
	};
	struct Wing
	{
		ModInt wn[LP+1];
		Wing()
		{
			ModInt g=G;
			for(int i=0;i<=LP;++i)
				wn[i]=Pow(g,(P-1)/(1<<i));
		}
		ModInt &operator [](int x){return wn[x];}
	}wn;
	void Trans(ModInt a[],int n)
	{
		for(int i=1,j=n>>1;i<n-1;++i)
		{
			if(i<j) swap(a[i],a[j]);
			int k=n>>1;
			while(j>=k)
			{
				j-=k;
				k>>=1;
			}
			j+=k;
		}
		for(int d=2,index=1;d<=n;d<<=1,index++)//d<n..
		{
			for(int i=0;i<n;i+=d)
			{
				ModInt w=1;
				for(int j=i;j<i+(d>>1);++j)
				{
					ModInt u=a[j],t=w*a[j+(d>>1)];
					a[j]=u+t,a[j+(d>>1)]=u-t;
					w*=wn[index];
				}
			}
		}
	}
	void DFT(ModInt a[],int n)
	{
		Trans(a,n);
	}
	void IDFT(ModInt a[],int n)
	{
		Trans(a,n);
		reverse(a+1,a+n);
		ModInt inv=Pow(ModInt(n),P-2);
		for(int i=0;i<n;++i)
			a[i]*=inv;
	}
}
int m;
struct Polynom
{
	int a[LEN],n;
	Polynom()
	{
		memset(a,0,sizeof(a));
		n=0;
	}
	void I(){a[0]=n=1;}
	int &operator [](int x){return a[x];} 
	Polynom &operator *=(Polynom&);
};
Polynom operator *(Polynom &a,Polynom &b)
{
	using namespace _NTT_;
	static ModInt A[LEN],B[LEN];static Polynom c;
	int n;
	for(n=1,c.n=a.n+b.n-1;n<c.n;n<<=1);//n>>=1..
	for(int i=0;i<n;++i)
	{
		A[i]=i<a.n?a[i]:0;
		B[i]=i<b.n?b[i]:0;//a[i]!!!
		c[i]=0;
	}
	DFT(A,n),DFT(B,n);
	for(int i=0;i<n;++i)
		A[i]*=B[i];
	IDFT(A,n);
	for(int i=0;i<n;++i)
		(c[i%(m-1)]+=A[i].num)%=P;
	c.n=m+1;
	return c;
}
Polynom &Polynom::operator *=(Polynom &a){return *this=*this*a;}

int Div(int x,int p[])
{
	int pc=0,m=(int)sqrt(x+0.5)+1;
	for(int i=2;i<=m;++i)
	{
		if(x%i==0)
		{
			do x/=i;
			while(x%i==0);
			p[++pc]=i;
		}
	}
	if(!x) p[++pc]=x;
	return pc;
}
int sub[MAXM];
int Pow(ll base,int index,int P)
{
	ll res;
	for(res=1;index;index>>=1,(base*=base)%=P)
		if(index&1) (res*=base)%=P;
	return res;
}
int prim_root(int p)
{
	int ph=p-1,dc=Div(ph,sub);
	for(int g=2;g<P;++g)
	{
		bool check=1;
		for(int i=1;i<=dc && check;++i)
			if(Pow(g,ph/sub[i],p)==1)
				check=0;
		if(check)
			return g;
	}
	return -1;
}
int ind[MAXM];
void AllInd(int p)
{
	ll w=1,g=prim_root(p);
	for(int i=0;i<=p-1;++i)
	{
		ind[w]=i;
		(w*=g)%=p;
	}
}
int main()
{
	static int s[MAXM];
	static Polynom a,f;
	int n,x,sc;
	get(n),get(m),get(x),get(sc);
	AllInd(m);
	for(int i=1;i<=sc;++i) 
	{
		get(s[i]);
		if(!s[i]) continue;
		a[ind[s[i]]]++;
	}
	a.n=m+1;
	f=Pow(a,n);
	int Ans=f[ind[x]];
	put(Ans),putchar('\n');
	return 0;
}
/* AC Record(Bugs)

*/