BZOJ 2219 数论之神

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Solution

的xx的个数 P=∑i=1cpikiP=\sum\limits_{i=1}^{c}p_i^{k^i}，根据 转化为cc个 的解的积

Case #1 b∣pkb|p^k

则 设x=λpt,gcd(λ,p)==1x=\lambda p^{t},\gcd(\lambda,p)==1 可以知道at≥kat\ge k t≥⌈ka⌉t\ge \lceil \dfrac ka\rceil 所以解数为pk−⌈ka⌉p^{k-\lceil \frac ka\rceil}

Case #2

设b=λpt,gcd(λ,p)==1b=\lambda p^{t},\gcd(\lambda,p)==1

如果 ，假设存在解x0x_0，pp的次数为ss (ps)a=psa=pt(p^s)^a=p^{sa}=p^t，与 矛盾，所以必定无解 当a∣ta|t时，方程可以化为 令x′=xpta,b′=λ,p′=pk−tx'=\dfrac x{p^{\frac ta}},b'=\lambda,p'=p^{k-t} 则x′∈[0,pk−ta)x'\in [0,p^{k-\frac ta}) 但是在新的方程中，x′∈[0,pk−t)x'\in[0,p^{k-t})，所以对新方程求出答案之后需要×pt−ta\times p^{t-\frac ta}

对这个方程取 现在需要把指标项代换，需要保证 与xx一一对应，取p′p'的原根作为底数即可，而p′p'一定存在原根。 令 现在转化为求方程 的解数

对于 的解数 Ax+Cy=gcd(A,C)Ax+Cy=\gcd(A,C) 还原到原方程的解就是X=Bgcd(A,C)xX=\dfrac B{\gcd(A,C)}x，设第一个非负XX为X0X_0 则X=X0+kCgcd(A,C)X=X_0+\dfrac {kC}{\gcd(A,C)} 所以在 意义下有gcd(A,C)\gcd(A,C)个解 这么显然的东西我居然还想了这么久 就好了

Code

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//Code by Lucida
#include<bits/stdc++.h>
#define get(x) scanf("%d",&x)
#define put(x) printf("%d",x)
typedef long long ll;
template <class T> inline bool chkmx(T &a,const T &b){return a<b?a=b,1:0;}
template <class T> inline bool chkmn(T &a,const T &b){return a>b?a=b,1:0;}

using std::pair;
using std::make_pair;

const int SQRT=1e6;

struct Hash
{
	static const int SIZE=SQRT,P=99929;
	struct Node
	{
		int key,val;
		Node *pre;
		Node(int key,int val,Node *pre):key(key),val(val),pre(pre){}
	}*POOL,*ME,*id[P];
	Hash()
	{
		POOL=ME=(Node*)malloc(SIZE*sizeof(Node));
		memset(id,0,sizeof(id));
	}
	void Reset()
	{
		memset(id,0,sizeof(id));
		ME=POOL;
	}
	Node *FindKey(int key)
	{
		for(Node *p=id[key%P];p;p=p->pre)
			if(p->key==key) return p;
		return 0;
	}
	int &operator [](int x)
	{
		Node *re=FindKey(x);
		if(re)
			return re->val;
		else
		{
			int ha=x%P;
			return (id[ha]=new(ME++) Node(x,-1,id[ha]))->val;
		}
	}
	int Find(int x)
	{
		Node *re=FindKey(x);
		return re?re->val:-1;
	}
};
int pow(int base,int index)
{
	int res;
	for(res=1;index;index>>=1,base*=base)
		if(index&1) res*=base;
	return res;
}
int pow(int base,int index,int P)
{
	int res;
	for(res=1;index;index>>=1,base=(ll)base*base%P)
		if(index&1) res=(ll)res*base%P;
	return res;
}
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
int Div(int x,pair<int,int> *p)
{
	int m=(int)sqrt(x+0.5)+1,c=0;
	for(int i=2;i<=m;++i)
		if(x%i==0)
		{
			int t=0;
			do ++t,x/=i;
			while(x%i==0);
			p[++c]=make_pair(i,t);
		}
	if(x!=1)
		p[++c]=make_pair(x,1);
	return c;
}
int BSGS(int a,int b,int P)//a^x equiv b mod P
{
	static Hash S;
	int modu=P;
	a%=P,b%=P;
	ll t=1;int dep=0;
	for(int d=gcd(a,P);d!=1;d=gcd(a,P))
	{
		if(b%d) return -1;
		++dep;
		b/=d,P/=d,(t*=a/d)%=modu;
	}
	S.Reset();
	int m=(int)sqrt(P+0.5)+1;
	ll baj=b;
	for(int j=0;j<=m;++j)
	{
		S[baj]=j;
		(baj*=a)%=modu;
	}
	int asp=pow(a,m,modu);
	ll aspi=asp;
	for(int i=1,j;i<=m;++i)
	{
		if((j=S.Find(aspi))!=-1)
			return i*m-j+dep;
		(aspi*=asp)%=modu;
	}
	return -1;
}
int phi(int x)
{
	static pair<int,int> sub[SQRT];
	int dc=Div(x,sub);
	int res=x;
	for(int i=1;i<=dc;++i)
		(res/=sub[i].first)*=(sub[i].first-1);
	return res;
}
int ind(int a,int b,int P){	return BSGS(a,b,P);}
int prim_root(int P)
{
	static pair<int,int> sub[SQRT];
	int ph=phi(P),dc=Div(ph,sub);
	for(int g=2;g<P;++g)
	{
		bool check=1;
		for(int i=1;i<=dc && check;++i)
			if(pow(g,ph/sub[i].first,P)==1)
				check=0;
		if(check)
			return g;
	}
	return -1;
}
int Calc(int a,int b,int p,int k)
{
	int pk=pow(p,k);
	//a%=pk????
	b%=pk;
	if(b)
	{
		int b1=b,t=0;
		while(b1%p==0) ++t,b1/=p;
		if(t%a!=0) return 0;
		int p1=pow(p,k-t),
			ph=phi(p1),
			ind_b=ind(prim_root(p1),b1,p1);
		int d=gcd(a,ph);
		return ind_b%d?0:d*pow(p,t-t/a);
	}
	else
		return pow(p,k-(k/a+(k%a?1:0)));
}
void Work()
{
	static pair<int,int> sub[SQRT];
	int A,B,K,P;
	get(A),get(B);get(K);P=K*2+1;
	int Ans=1,dc=Div(P,sub);
	for(int i=1;i<=dc;++i)
	{
		int res=Calc(A,B,sub[i].first,sub[i].second);
		Ans*=res;
		//put(res),putchar('\n');
	}
	put(Ans),putchar('\n');
}
int main()
{
	//freopen("input","r",stdin);
	int T;get(T);
	while(T--)
		Work();
	return 0;
}
/* AC Record(Bugs)

*/